Verwarm de oven voor op 350 °C. Vet de binnenkant van de schaaltjes in met de boter. Plaats de schaaltjes op een omrande bakplaat; opzij zetten.
Meng in een middelgrote kom voorzichtig het gehakt, 1½ theelepel Worcestershiresaus, 1 theelepel uienpoeder, 1 theelepel zout en ½ theelepel peper. Verdeel in 4 gelijke porties en vorm elk tot een ⅓-inch dik pasteitje, ongeveer 3 cm in diameter.
Breek 1 ei in elk van de voorbereide schaaltjes. Prik met een mes in elke dooier zodat deze zich kan verspreiden. Breng op smaak met zout en peper. Bak tot het ei en de dooiers gaar zijn en er een heel klein beetje beweging overblijft, 13 tot 15 minuten. Laat een botermes of rubberen spatel rond elk ei lopen om het los te laten. Opzij zetten.
Meng in een kleine kom de mayonaise, ketchup, saus en de resterende 1/2 theelepel Worcestershire-saus en uienpoeder. Roer om te combineren en breng op smaak met zout en peper; opzij zetten.
Bekleed een kleine omrande bakplaat met folie. Verhit de olie in een middelgrote koekenpan op middelhoog vuur. Voeg de pasteitjes toe en bak tot ze bruin zijn maar lichtroze in het midden, ongeveer 2 minuten per kant. Breng de pasteitjes over naar de voorbereide bakplaat.
Plaats een ovenrek ongeveer 6 cm van de grill. Verwarm de grill voor. Beleg elk pasteitje met 1 plakje kaas. Rooster tot de kaas net smelt, 30 tot 60 seconden.
Om te serveren, beleg elk gebakken ei met een kaaspasteitje, gevolgd door 3 plakjes avocado en een scheutje saus.