Préchauffer le four à 350 ° F (180 ° C). Graisser l'intérieur des ramequins avec le beurre. Placer les ramequins sur une plaque à pâtisserie à rebord; mettre de côté.
Dans un bol moyen, mélanger délicatement le bœuf haché, 1½ cuillère à café de sauce Worcestershire, 1 cuillère à café d'oignon en poudre, 1 cuillère à café de sel et ½ cuillère à café de poivre. Divisez en 4 portions égales, puis formez chacune en une galette de ⅓ pouces d'épaisseur, d'environ 3 pouces de diamètre.
Cassez 1 œuf dans chacun des ramequins préparés. Percer chaque jaune avec un couteau pour lui permettre de se répandre. Assaisonnez avec du sel et du poivre. Cuire au four jusqu'à ce que l'œuf et les jaunes soient bien cuits et qu'il reste un très léger tremblement, 13 à 15 minutes. Passez un couteau à beurre ou une spatule en caoutchouc autour de chaque œuf pour le libérer. Mettre de côté.
Dans un petit bol, mélanger la mayonnaise, le ketchup, la relish et la 1/2 cuillère à café restante de la sauce Worcestershire et de l'oignon en poudre. Remuer pour combiner, puis assaisonner au goût avec du sel et du poivre; mettre de côté.
Tapisser une petite plaque à pâtisserie à rebords de papier d'aluminium. Chauffer l'huile dans une poêle moyenne à feu moyen-vif. Ajouter les galettes et cuire jusqu'à ce qu'elles soient dorées mais légèrement rosées au centre, environ 2 minutes de chaque côté. Transférer les galettes sur la plaque de cuisson préparée.
Placez une grille de four à environ 6 pouces du gril. Préchauffez le gril. Garnir chaque galette d'une tranche de fromage. Faire griller jusqu'à ce que le fromage fonde, 30 à 60 secondes.
Pour servir, garnir chaque œuf cuit d'une galette au fromage suivie de 3 tranches d'avocat et d'un filet de sauce.