Precalienta el horno a 350 ° F (180 ° C). Engrase el interior de los moldes con mantequilla. Coloque los moldes en una bandeja para hornear con borde; dejar de lado.
En un tazón mediano, mezcle suavemente la carne molida, 1 ½ cucharadita de salsa Worcestershire, 1 cucharadita de cebolla en polvo, 1 cucharadita de sal y ½ cucharadita de pimienta. Divida en 4 porciones iguales, luego forme cada una en una hamburguesa de ⅓ de pulgada de grosor, de aproximadamente 3 pulgadas de diámetro.
Rompe 1 huevo en cada uno de los moldes preparados. Perfora cada yema con un cuchillo para que se esparza. Condimentar con sal y pimienta. Hornee hasta que el huevo y las yemas estén bien cocidas y quede una ligera sacudida, de 13 a 15 minutos. Pasa un cuchillo de mantequilla o una espátula de goma alrededor de cada huevo para soltarlo. Dejar de lado.
En un tazón pequeño, mezcle la mayonesa, la salsa de tomate, la salsa y la 1/2 cucharadita restante de salsa Worcestershire y cebolla en polvo. Revuelva para combinar, luego sazone al gusto con sal y pimienta; dejar de lado.
Cubra una bandeja para hornear pequeña con borde con papel de aluminio. Caliente el aceite en una sartén mediana a fuego medio-alto. Agregue las hamburguesas y cocine hasta que estén doradas pero ligeramente rosadas en el centro, aproximadamente 2 minutos por lado. Transfiera las hamburguesas a la bandeja para hornear preparada.
Coloque una rejilla del horno a unas 6 pulgadas del asador. Precalienta el asador. Cubra cada hamburguesa con 1 rebanada de queso. Ase hasta que el queso se derrita, de 30 a 60 segundos.
Para servir, cubra cada huevo horneado con una hamburguesa con queso seguida de 3 rodajas de aguacate y un chorrito de salsa.