Φτιάξτε το πέστο: σε έναν επεξεργαστή τροφίμων, συνδυάστε το βασιλικό, τους ξηρούς καρπούς, το σκόρδο, 1/8 κουταλάκι του γλυκού αλάτι και 1/4 φλιτζάνι ελαιόλαδο. Παλμού μέχρι να γίνει λείο. Με το μηχάνημα να λειτουργεί αργά, προσθέστε το υπόλοιπο 1/4 φλιτζάνι ελαιόλαδο και επεξεργαστείτε μέχρι να ομογενοποιηθεί. Προσθέστε τα τυριά και μετά χτυπήστε μερικές φορές για να ενσωματωθούν.
Μαγειρέψτε τα αυγά: Σε μια κατσαρόλα 4 λίτρων, προσθέστε τα αυγά και αρκετό δροσερό νερό για να τα καλύψει κατά 1 ίντσα. Βράστε το νερό σε δυνατή φωτιά και αμέσως αφαιρέστε την κατσαρόλα από τη φωτιά, καλύψτε με ένα καπάκι και αφήστε το να κρυώσει για ακριβώς 12 λεπτά.
Εν τω μεταξύ, γεμίστε ένα μεγάλο μπολ μέχρι τη μέση με πάγο και στη συνέχεια γεμίστε με κρύο νερό.
Χρησιμοποιώντας μια τρυπητή κουτάλα, μεταφέρετε τα αυγά στο παγόλουτρο. Αφήνουμε να κρυώσει για 10 λεπτά και μετά ξεφλουδίζουμε τα αυγά.
Κόψτε κάθε αυγό στη μέση κατά μήκος και, στη συνέχεια, αφαιρέστε απαλά τους κρόκους σε ένα μεσαίο μπολ. Αφήνουμε τα ασπράδια στην άκρη. Πολτοποιήστε τους κρόκους των αυγών με ένα πιρούνι, στη συνέχεια προσθέστε τη μαγιονέζα, 6 κουταλιές της σούπας πέστο, 1/4 κουταλάκι του γλυκού αλάτι και 1/8 κουταλάκι του γλυκού πιπέρι και ανακατέψτε σε μια λεία πάστα.
Χρησιμοποιώντας μια σπάτουλα, ρίξτε τη γέμιση σε μια σακούλα ζαχαροπλαστικής με στρογγυλή μύτη 1/2 ίντσας. Σπρώξτε όλη τη γέμιση σε μια γωνία της σακούλας και πιέστε τυχόν αέρα από την κορυφή. Πιέζοντας τη σακούλα από την κορυφή, για να πιέσετε τη γέμιση προς τα κάτω, σωλήνωση της γέμισης στο φλιτζάνι κάθε ασπράδι αυγού, έτσι ώστε να φουσκώσει λίγο πάνω από την κορυφή.
Γαρνίρετε κάθε αυγό με 1/4 σταφυλοντομάτας και σερβίρετε.
Πρώτο πιάτο που αδειάζει σε κάθε λάσπη! Μπορείτε επίσης να το παρουσιάσετε ως ένα κομψό γύρισμα σε πράσινα αυγά και ζαμπόν προσθέτοντας προσούτο στο πλάι! Τόσο απλά και τόσο νόστιμα!