Κάντε το πέστο: σε έναν επεξεργαστή τροφίμων, συνδυάστε το βασιλικό, τα καρύδια, το σκόρδο, το αλάτι 1/8 κουταλάκι του γλυκού και το 1/4 φλιτζάνι του ελαιόλαδου. Παλμός μέχρι ομαλό. Με το μηχάνημα να λειτουργεί αργά, προσθέστε το υπόλοιπο 1/4 φλιτζάνι ελαιόλαδο και επεξεργαστείτε μέχρι να εξομαλυνθεί. Προσθέστε τα τυριά, στη συνέχεια πατήστε μερικές φορές για να ενσωματώσετε.
Μαγειρέψτε τα αυγά: Σε μια κατσαρόλα 4 τετραγώνων, προσθέστε τα αυγά και αρκετό δροσερό νερό για να τα καλύψετε κατά 1 ίντσα. Φέρτε το νερό σε βρασμό πάνω από υψηλή θερμότητα, στη συνέχεια αφαιρέστε αμέσως την κατσαρόλα από τη φωτιά, καλύψτε με ένα καπάκι και αφήστε να κρυώσει για ακριβώς 12 λεπτά.
Εν τω μεταξύ, γεμίστε ένα μεγάλο μπολ στο μισό μέρος με πάγο και στη συνέχεια γεμίστε με κρύο νερό.
Χρησιμοποιώντας ένα τετράγωνο κουτάλι, μεταφέρετε τα αυγά στο λουτρό πάγου. Αφήνουμε να κρυώσουμε για 10 λεπτά, στη συνέχεια ξεφλουδίζουμε τα αυγά.
Κόψτε κάθε αυγό σε μισό κατά μήκος, στη συνέχεια αφαιρέστε απαλά τους κρόκους σε ένα μέτριο μπολ. Ρυθμίστε τα λευκά αυγών. Ανακατέψτε τους κρόκους αυγών με ένα πιρούνι, στη συνέχεια προσθέστε τη μαγιονέζα, 6 κουταλιές της σούπας πέστο, 1/4 κουταλάκι αλάτι και 1/8 κουταλάκι του γλυκού πιπέρι και ανακατέψτε σε μια ομαλή πάστα.
Χρησιμοποιώντας μια σπάτουλα, ρίχνετε το γέμισμα σε μια σακούλα ζαχαροπλαστικής με 1/2-ίντσα στρογγυλή άκρη. Πιέστε ολόκληρο το γέμισμα σε μια γωνία της τσάντας και πιέστε τον αέρα από την κορυφή. Σφίγγοντας την τσάντα από την κορυφή, για να πιέσετε την πλήρωση προς τα κάτω, διοχετεύστε τη γέμιση στο φλιτζάνι του κάθε λευκού αυγού, ώστε να αναδιπλώνεται λίγο πάνω από την κορυφή.
Γαρνίρετε κάθε αυγό με 1/4 ντομάτα σταφυλιών και σερβίρετε.
Το πρώτο πιάτο που αδειάζει σε οποιοδήποτε potluck! Μπορείτε επίσης να το παρουσιάσετε ως κομψή περιστροφή στα πράσινα αυγά και το ζαμπόν προσθέτοντας προσούτο στο πλάι! Τόσο απλό και τόσο νόστιμο!