Den Backofen auf 180 ° C vorheizen. Fetten Sie die Innenseite der Auflaufförmchen mit der Butter ein. Legen Sie die Auflaufförmchen auf ein Backblech mit Rand; beiseite legen.
Mischen Sie in einer mittelgroßen Schüssel das Rinderhackfleisch, 1½ Teelöffel Worcestershire-Sauce, 1 Teelöffel Zwiebelpulver, 1 Teelöffel Salz und ½ Teelöffel Pfeffer vorsichtig miteinander. Teilen Sie es in 4 gleiche Portionen und formen Sie dann jeweils eine ⅓ Zoll dicke Pastete mit einem Durchmesser von etwa 3 Zoll.
Brechen Sie 1 Ei in jedes der vorbereiteten Auflaufförmchen. Durchstechen Sie jedes Eigelb mit einem Messer, damit es sich ausbreiten kann. Mit Salz und Pfeffer würzen. Backen Sie, bis das Ei und das Eigelb durchgegart sind und ein sehr leichtes Wackeln verbleibt, 13 bis 15 Minuten. Führen Sie ein Buttermesser oder einen Gummispatel um jedes Ei, um es freizugeben. Beiseite legen.
In einer kleinen Schüssel Mayonnaise, Ketchup, Relish und jeweils einen halben Teelöffel Worcestershire-Sauce und Zwiebelpulver vermischen. Umrühren, um zu kombinieren, dann würzen, um mit Salz und Pfeffer zu schmecken; beiseite legen.
Ein kleines Backblech mit Folie auslegen. Erhitzen Sie das Öl in einer mittleren Pfanne bei mittlerer bis hoher Hitze. Fügen Sie die Pastetchen hinzu und kochen Sie, bis sie in der Mitte braun, aber leicht rosa sind, ungefähr 2 Minuten pro Seite. Übertragen Sie die Pastetchen in die vorbereitete Backblechpfanne.
Stellen Sie einen Ofenrost etwa 6 Zoll vom Grill entfernt auf. Den Broiler vorheizen. Belegen Sie jedes Pastetchen mit 1 Scheibe Käse. 30 bis 60 Sekunden braten, bis der Käse gerade schmilzt.
Zum Servieren jedes gebackene Ei mit einer käsigen Pastete belegen, gefolgt von 3 Avocado-Scheiben und einem Spritzer Sauce.